פרופ' זלינגר למד רפואה באוניברסיטה העברית בירושלים. באותה תקופה עודד בית הספר לרפואה את תלמידי הרפואה לעבוד במחקר בסיסי במעבדות המחקר השונות. במסגרת זו החל פרופ' זלינגר לעבוד תחת הנחייתו של ד"ר שרם במעבדתו של פרופ' שלמה הסטרין. ב-1959 לאחר השלמת לימודי הרפואה ושנת סטאז' בבית החולים הדסה בירושלים, חזר פרופ' זלינגר ללימודי דוקטורט במעבדתו של פרופסור שלמה הסטרין, אשר עבר בינתיים לפקולטה למדעי הטבע והקים את המחלקה לכימיה ביולוגית בבניין ברחוב ממילא על גבול ירושלים המחולקת. 

פרופ' זלינגר התקבל כחבר סגל המחלקה לכימיה ביולוגית בשנת 1965 וקודם לדרג פרופסור בשנת 1973. במהלך תקופה זו, חקרה קבוצת המחקר שהוביל את מנגנון הפעולה של מערכת האדנילט ציקלאז. מחקר זה הוביל את פרופ' זלינגר ותלמיד המחקר שלו, דני קסל, לתגלית פורצת דרך. הם היו הראשונים לגלות איך עובדים חלבוני G - מתגים מולקולריים הנמצאים בכל תא בגוף ואחראים על העברת אותות מן הקולטנים שעל קרום התא אל תוך התא. 

לאורך הקריירה שלו פרסם פרופ' זלינגר כ-150 מאמרים מדעיים והדריך מעל 40 תלמידי מחקר, אשר רבים מהם השתלבו באקדמיה במדינת ישראל.

במהלך שנות עבודתו כיהן פרופ' זלינגר כראש החוג לביוכימיה (1971–1972), ראש המחלקה (1984–1989), מופקד הקתדרה לביוכימיה על שם מרקס-קנדי (1995), ומשנת 2000 ניהל את מרכז וולפסון לביולוגיה מבנית-יישומית. בשנת 2003 פרש לגמלאות מתחום ההוראה והתרכז במחקר, בו עסק עד יום מותו.

לצד עבודתו במחקר ובהוראה שימש פרופ' זלינגר מתאם המחקרים במדעי החיים וברפואה במסגרת המועצה הישראלית למחקר ופיתוח (1970–1977). בשנת 1983 היה פרופ' זלינגר חבר ועדת ההיגוי הגרמנית-ישראלית לביוכימיה, ובשנת 1989 הוא נבחר לחבר בארגון האירופי לביולוגיה מולקולרית.

פרופ' זלינגר זכה בפרסים יוקרתיים רבים, ביניהם: פרס לנדאו (1992), פרס רוטשילד למדעי החיים (2001), פרס טבע (2004), פרס א.מ.ת (2005) ופרס ישראל לחקר הביולוגיה (2007).